Mechanische Schwingungen und Wellen

Eine Schwingung bzw. Oszillation im allgemeinen ist die zeitlich, periodische Änderung mindestens einer physikalischen Größe. Meist finden mehrere Energieumwandlungen statt. Grundsätzlich unterscheidet man mechanische und elektromagnetische Schwingungen. Untrennbar mit den Schwingungen sind die mechanischen oder elektromagnetischen Wellen zu nennen.

1. Formelzeichen und Einheiten

Beschreibung Fz. Einh.
Amplitude ymax m (Meter)
Ausbreitungsgeschwindigkeit (mech. Wellen) v m / s
Ausbreitungsgeschw. (elektromagn. Wellen) c m / s
Auslenkung y m (Meter)
max. Auslenkung ŷ, ymax m (Meter)
Frequenz f Hz (Hertz)
Gangunterschied δ (delta) m (Meter)
Fallbeschleunigung g m / s2
Kraft (kin., grav., pot. etc.) F N (Newton)
Kreisfrequenz ω (omega) s-1
Fadenlänge l m (Meter)
Perioden-, Schwingungsdauer T s (Sekunden)
Wellenlänge λ (lambda) m (Meter)
     

2. Mechanische Schwingungen

Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung um seine Gleichgewichtslage zwischen seinen Unruhepunkten. Voraussetzung für das Entstehen einer Schwingung ist die Auslenkung (Energiezufuhr) aus seiner Gleichgewichtslage, eine zur Gleichgewichtslage zurücktreibende Kraft sowie die Trägheit des Körpers.

2.1. Verlauf der Energieumwandlung

Prinzipiell betrachtet man alle Modelle in der Physik als optimales Modell, dies ist beim Fadenpendel und Federschwinger nicht anders. Bei den Berechnungen wird die Reibung meist vollständig vernachlässigt. Bei einer Schwingung finden mehrere Energieumwandlungen statt, beim Fadenpendel und Federschwinger zum Beispiel wandelt sich kinetische in potenzielle Energie und umgekehrt um.

Somit kann man beispielsweise den Verlauf der Energieumwandlung beim Fadenpendel wie folgt Betrachten: Energiezufuhrpotenzielle Energiekinetische Energie, während beim Federschwinger eine Energieform hinzukommt: Energiezufuhrpotenzielle Energiekinetische EnergieEnergie der gespannten Feder.

Oder in Vereinfachter Form: beim Fadenpendel wirken mehrere Kräfte – Gewichtskraft und die Rücktreibende Kraft, beim Federschwinger ebenso – jedoch noch zusätzlich die Spannkraft der Feder.

Diese modellhafte Betrachtungsweise birgt oberflächlich betrachtet eine Schwierigkeit im Zusammenhang mit dem Energieerhaltungssatz … denn, aufgrund der Reibung werden Schwinger und Pendel zunehmend langsamer, bis ihre Bewegung zum erliegen kommt. In den meisten physikalischen Experimenten oder Berechnungen wird diese Tatsache gänzlich vernachlässigt.

2.2. Kenngrößen einer Schwingung sind…

…die Auslenkung (Elongation) y also der Abstand zwischen seiner Gleichgewichtslage und einem beliebigen Punkt der Bahn… die Amplitude (ymax), ŷ, y0 beschreibt den Abstand zwischen seiner Gleichgewichtslage und seinem Umkehrpunkt… die Periodendauer T ist die Zeitdauer bis ein Körper seinen Ausgangspunkt in gleicher Richtung durchläuft… die Frequenz f ist die Anzahl der Perioden pro Sekunde.

2.2.1. Periodendauer und Frequenz

Die Periodendauer lässt sich aus der Zeit t für n Perioden berechnen, die Formel für die Frequenz ist das Reziproke der Periodendauer.

2.3. Fadenpendel – wovon die Periodendauer abhängt…

Zur experimentelle Feststellung der Abhängigkeiten sind drei Versuche vorgesehen. Es soll die Periodendauer erstens im Bezug auf die Masse des Pendelkörpers, zweitens in Verbindung zur Fadenlänge und drittens in Interaktion mit dem Auslenkwinkel während der Energiezufuhr ermittelt werden. Um Messfehler zu vermeiden wird die Zeit bei jedem Experiment in zwei Durchläufen mit je fünf Amplituden gemessen.

2.3.1. Veränderung der Masse des Pendelkörpers

Auslenkwinkel Fadenlänge 20 g 50 g 70 g 100 g 150 g
30° 76 cm 8,7 s 8,6 s 8,7 s 8,7 s 8,7s

2.3.2. Veränderung der Fadenlänge

Auslenkung Gewicht 0,1 m 0,3 m 0,5 m 0,7 m 0,9 m 1,1 m
30° 100 g 3,25 s 5,6 s 7,1 s 8,5 s 9,6 s 10,5 s
ber. Werte   3,17 s 5,49 s 7,09 s 8,39 s 9,52 s 10,52 s

2.3.3. Veränderung der Auslenkung bzw. dessen Winkel

Fadenlänge Gewicht 10 ° 30 ° 50 ° 70 ° 85 °
30 cm 100 g 5,5 s 5,6 s 6,0 s 6,2 s 7,2 s

2.3.4. Auswertung der Experimente…

Aus den vorhergehenden Experimenten kann man folgende Erkenntnisse Gewinnen. Der erste Versuch stellt die Masse des Pendelkörpers variabel dar, die Fadenlänge sowie die Auslenkung blieben konstant – die Periodendauer änderte sich jedoch nur aufgrund von Messfehlern. Das Gewicht eines Pendelkörpers hat also keinen Einfluss auf die Periodendauer.

Im zweiten Experiment wurde die Fadenlänge zur Variablen, wobei die Masse und die Auslenkung konstant blieben. Im Vergleich sind die Ergebnisse der Messung sowie die berechneten Werte sehr ähnlich. Die Darstellung der Messwerte in einem Diagramm lassen den Graphen einer quadratischen Funktion erkennen.

Die Messungen aus dem dritten Versuch

2.4. Fadenpendel als Uhrersatz – Sekundenpendel

Wie müsste die Länge eines Fadenpendels gewählt werden, damit dieses eine Frequenz von 1 Hz aufweist.

 

2.5. Resonanz und erzwungene Schwingungen

Den bisher bekannten Schwingungssystemen wurde nur einmal Energie zugeführt.

VERVOLLSTÄNDIGUNG FOLGT!!!

3. Mechanische Wellen

Oszillatoren, also schwingungsfähige Teilchen bzw. Körper können durch Kopplung von einem anderen Oszillator oder Teilchen Energie übertragen bekommen und so selbst zu Schwingungen angeregt werden. Stößt oder regt man nun einen Oszillator an so wird aufgrund der Kopplung, Energie auf den jeweils nächsten Oszillator übertragen – man spricht auch davon, dass die Schwingung sich im Raum fort pflanzt.

Eine mechanische Welle ist eine Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum. Diese Welle ist somit eine zeitlich und räumlich, periodische Änderung physikalischer Größen. Es erfolgt kein Stofftransport, jedoch kann Energie übertragen werden!

3.1. Arten von mechanischen Wellen

3.1.1. Longitudinalwellen

3.1.2. Transversalwellen

3.1.3. Kreiswellen

  • auch Längswellen genannt
  • die Schwingungsrichtung entspricht immer der Ausbreitungsrichtung
  • benachbarte Teilchen werden über Stöße zum Schwingen angeregt
  • auch Querwellen genannt
  • die Schwingungsrichtung entspricht nicht der Ausbreitungsrichtung
  • Querwellen verlaufen Senkrecht zueinander
  • auch Oberflächenwellen genannt
  • die Teilchen führen eine kreisförmige Bewegung aus
  • die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung verlaufende Bewegungskomponente ist für das wellenförmige Erscheinungsbild entscheidend
  • es wirken Kohäsionskräfte (Oberflächenspannungen) sowie die Schwerkraft

3.2. Die Kenngrößen einer mechanischen Welle…

…unterteilt man zunächst in Schwingungs- und wellentypische Größen. Zu den Schwingungsgrößen zählt man die Auslenkung (Elongation) y, die Amplitude (ymax), ŷ, y0, die Schwingungsdauer T, Frequenz f und Kreisfrequenz ω (omega).

Zu den wellentypischen Größen zählt man hingegen…

3.2.1. die Wellenlänge

  • diese bezeichnet den minimalen Abstand zwischen zwei Oszillatoren, die sich im gleichen Schwingungszustand befinden
  • man könnte die Wellenlänge auch analog zum Abstand zwischen zwei Wellenbergen oder Tälern betrachten

3.2.2. die Ausbreitungsgeschwindigkeit

  • ist die Geschwindigkeit, mit der sich im Raum eine bestimmte Phase ausbreitet

3.3. Diagrammtypen zur Darstellung

3.3.1. y-t Diagramm

Zur Darstellung an einen bestimmten Ort (x ist konstant). Der Oszillator wird in Abhängigkeit zur Zeit abgebildet. Mechanische Wellen: y-t Diagramm in Abhängigkeit der Zeit

3.3.2. y-x Diagramm

Zur Darstellung zu einem bestimmten Zeitpunkt (t ist konstant). Es wird die Lage aller Oszillatoren abgebildet. Mechanische Wellen: y-x Diagramm in Abhängigkeit der Lage

Für alle mechanischen Wellen gilt!

Die Wellengleichung für lineare, harmonische Wellen lautet (y = Ergebnis = Auslenkung am Ort x):

3.4. Das Huygensche-Prinzip

Es besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für eine neue Welle (Elementarwelle) betrachtet werden kann. Diese Elementarwellen besitzen die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit wie die ursprüngliche Welle. Die neue Wellenfront ergibt sich aus der einhüllenden aller Elementarwellen. Bei Übergängen in unterschiedlichen Medien ändert sich die Ausbreitungsrichtung wie auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit – dies kann als Brechung oder Beugung wahrgenommen werden.

3.5. Eigenschaften Mechanischer Wellen

3.5.1. Wellenbeugung

  • trifft eine Welle auf eine Kante oder einen Spalt, so sind die betroffenen Stellen nach Huygens, Ausgangspunkt von Elementarwellen
  • die Welle breitet sich somit bis in den Schattenraum aus
  • die Stärke der Beugung ist von der beugenden Fläche abhängig, entspricht diese von den Ausmassen der Wellenlänge hat sie ihr Maximum
  • die Beugung ist meistens mit der Interferenz verbunden

3.5.2. Interferenz

mechanische Wellen - Eigenschaft - Interferenz
  • Treffen zwei oder mehrere Wellen in einem Ort zusammen, dann regen sie den dort befindlichen Schwinger – nach dem huygen-frenselschen Prinzip – zu einer zusammengesetzten Schwingung an
  • es kommt zu Verstärkung, Abschwächung oder Auslöschung
  • ist der Gangunterschied der einzelnen Wellen NULL oder ein ganzzahliges Vielfaches von λ kommt es zur Verstärkung (konstruktive Interferenz)
  • entspricht der Gangunterschied einem ungeraden Vielfachen der halben Wellenlänge kommt es zur Auslöschung bzw. Abschwächung (destruktive Interferenz)

3.5.3. Reflexion

mechanische Wellen - Eigenschaft - Reflexion
  • bei der Reflexion von Wellen sind der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel gleich groß α = α
  • die Wellennormalen der einfallenden und reflektierenden Wellen liegen in einer Ebene

3.5.4. Brechung

mechanische Wellen - Eigenschaft - Brechung
  • trifft eine Welle unter einem Winkel α ≠ 0 auf eine ebene Grenzfläche zweier Stoffe, in denen sie sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreitet, ändert sie ihre Ausbreitungsrichtung
  • es gilt das Brechungsgesetz (α=Einfallswinkel, β=Brechungswinkel, v1 und v2=Ausbreitungsgeschwindigkeit)

3.5.5. Absorption

mechanische Wellen - Eigenschaft - Absorption
  • beim Durchgang von Wellen durch Stoffe  erfolgt ein Abschwächung bzw. Absorption
  • die Energie der Welle verringert sich und wird vom Stoff aufgenommen

3.5.6. Streuung

mechanische Wellen - Eigenschaft - Streuung
  • die Streuung entspricht der Beugung, jedoch betrachtet man nicht die Grenzfläche
  • man Betrachtet die Teilchen die im vergleich zur Wellenlänge eher klein sind
  • an diesen wird nicht die ganze, sondern einzelne Teile der Welle abgelenkt

3.5.7. Polarisation

mechanische Wellen - Eigenschaft - Polarisation
  • bei unterschiedlicher Schwingungsrichtung von Transversalwellen wird eine bestimmte Schwingungsrichtung herausgefiltert

3.5.8. Gangunterschied

mechanische Wellen - Eigenschaft - Gangunterschied
  • der Gangunterschied zweier Wellen bezeichnet den Abstand Δs, um die man eine der beiden verschieben müsste um an einem Ort x die gleiche Phase zu erzeugen
  • primär ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge bzw. der Frequenz abhängig
 

3.5.9. Stehende und fortschreitende Wellen

  • fortschreitende Wellen breiten sich in der Regel von einem Erreger in den Raum aus, das räumliche Wellenbild wandert mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
  • werden Wellen reflektiert, können sich hin- und rücklaufende Wellen Überlagern
  • diese Überlagerungen können sich in stehende Wellen ausbilden, das räumliche Wellenbild ist hierbei feststehend

3.5.10. Doppler-Effekt

  • Bei einer Relativbewegung zwischen einem Sender und einem Empfänger unterscheidet sich die vom Empfänger registrierte Frequenz fE von der vom Sender abgegebene Frequenz fS